معادلة منحنى القلب

Share on facebook
Share on twitter
Share on linkedin
||||

صورة توضح كيف يتشكل منحنى القلب Cardioid
صورة توضح كيف يتشكل منحنى القلب Cardioid

هو منحنى على شكل القلب، ينتج عن مسار نقطةٍ ثابتة على محيط دائرة، وهذه الدائرة تدور دون انزلاق حول دائرةٍ أخرى ثابتة لها نفس نصف القطر. وهذا الاسم مُشتق من الكلمة اليونانية (kardioedides)، وتتكون من القلب (kardia) وشكل (edides). وهذا المنحنى يشبه قطاعًا عرضيًّا من التفاحة.

أول من درس منحنى القلب هو Ole Christensen Roemer عام 1674 في محاولته للوصول إلى أفضل تصميم لأسنان التروس، ومع ذلك لم يأخذ المنحنى هذا الاسم حتى استخدمه عالم الرياضيات الإيطالي Johann Castillon في ورقة بحثية بعام 1741.

المعادلة القطبية لمنحنى القلب:

a هي نصف قطر الدائرة، θ هي الزاوية القطبية

040717 2006 1r =  (a + a cos θ) r =  (a – a cos θ)

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

040717 2006 2r =  (a + a sin θ) r =  (a –  a sin θ)

والمعادلة الكارتيزية له هي:

(x2 + y2 + ax)2 = a2 (x2 + y2)

والمعادلة البارامترية هي:

x = a cos t (1 – cos t) , y = a sin t (1 – cos t )

مساحة سطح Cardioid تُعطى من العلاقة التالية:



π a2 A = 6

سنلاحظ أن مساحة منحنى القلب تساوي 6 أضعاف مساحة الدائرة التي نتج عنها هذا المنحنى.

طول القوس الناتج من هذا المنحنى يُمكن حسابه بالعلاقة التالية:

L = 16 a
حيث a نصف قطر الدائرة.

040717 2006 3عادةً ما يتم تمثيل منحنى القلب في نظام الإحداثيات القطبية، ولكن يمكن تمثيله في نظام الإحداثيات الكارتيزية. وهذه بعض الأشكال للمنحنى القلبي ومعادلاتها كما يلي:

040717 2006 4يوجد خمس معادلات إذا تم رسمها على مستوى الإحداثيات الكارتيزية معًا يتكون شكل القلب وهي كما في الشكل التالي:

ترجمة وتصميم: Mahmood Yosef Mahmood

مراجعة:
Mohamed Sayed Elgohary

المصدر:

http://sc.egyres.com/EAtZW

http://sc.egyres.com/oNKEQ

http://sc.egyres.com/VYCjq

http://sc.egyres.com/EaMOB