من المؤكد أن معظم من يقرأ هذه المقالة الآن تعرض لهذا الرقم ( 2√ )، أثناء دراسة الرياضيات في المراحل التعليمية المختلفة، وخاصة في الفرع الهندسي، ولكن كنت تمر عليه دون أن تعلم كيف أنه كشف الحجاب عن نوعية جديدة من الأرقام تسمى «الأعداد غير النسبية ــ irrational numbers »، والتي بدورها فتحت الآفاق للمزيد من المفاهيم والتطبيقات الرياضية، حيث يُعَرَّف، تاريخيًا، على أنه أول عدد (غير نسبي).
وهندسيًا يعرف على أنه طول قطر المربع الذي طول ضلعه هو وحدة الطول. طبقًا لنظرية فيثاغورس والتي تَنُص على أنه للمثلث القائم الزاوية فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
(C)2 = (a)2 + (b)2 , ie, C = √(a^2+b^2 ).
وبتطبيق نظرية فيثاغورس على المربع الذي طول ضلعه 1:
diagonal)2 = (1)2 + (1)2 = 2 , ie diagonal = √2.
والقيمة المقربة له حتى 55 من الخانات العشرية هي:
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731
ويمكننا التعبير عنه بمجموعة من الأعداد التقريبية التي تقترب في قيمتها إلى عدد معين من الخانات العشرية للجذر 2. وأشهرها العدد 99/70 ، 99/70 ≈ 1.41429 والذي يحيد عن القيمة الدقيقة للعدد بمقدار 1/10000.
كيف تستخدم هذه النوعية من الأعداد في التطبيقات المختلفة؟
1- المعادلات الرياضية ما هي إلا رموز تعبر عن المتغيرات الطبيعية داخل نظام معين، وهذه الرموز ما هي إلا أرقام، وكلما أدركت نوعيات أكثر من الأرقام كلما زادت قدرتك على حل هذه المعادلات والتي بدورها هي مفتاح كل كشف علمي.
2- أضفى وجود الأعداد غير النسبية على العلوم الرياضية الصبغة الأكثر دقة وواقعية لتوصيف الأنظمة الطبيعية، فالرياضيات وجدت لعمليات القياس على أي متغير طبيعي، وكلما زادت قدرتها على القياس كلما زادت براعتها في مواجهة هذا التحدي.
3- منذ أن اكتشفت الأعداد الصماء «الغير نسبية» في نظرية الأعداد، فرض مفهوم «اللانهائيةــ infinity» ∞ نفسه كعنصر جديد في غاية الأهمية على مجموعات الأعداد والذي بدونه لا تكتمل منطقية وتناسقية البديهيات الرياضية.
4- من المستحيل أن تستطيع إيجاد قيمة محددة بالضبط لأي كمية غير نسبية؛ حيث ستتوالى الأرقام بعد العلامة العشرية بصورة غير تكرارية إلى «ما لانهايةـ infinite non-repeating decimals ».
5- بعد أن أدركنا أنه من المستحيل إيجاد «القيم المحددة exact values» للمتغيرات غير النسبية كان من الضروري إقحام مفهوم «التقريب ــapproximation » في مجال القياسات الرياضية.
6- لا يوجد نظام «خطي ــ linear » في الطبيعة بنسبة 100% أو بمعنى آخر، لا توجد متغيرات في الطبيعة تنطبق عليها العلاقة «x=y » لينتج لنا على التمثيل الجبري لهذه العلاقة خطًا مستقيمًا يوضح طردية العلاقة بينهما، وإنما تكون هذه الحالة المثالية لهذه المتغيرات.
7- عند دراستك لأي منظومة في أي علم تطبيقي مثل العلوم الهندسية، ستجد دائمًا أن التصور الرياضي يشرع في دراسة حالة معينة مبتدئًا بـ «النموذج المثالي ـ ideal case » أولا ومن ثمَّ تبدأ إضافة درجات معينة من «التعقيد ــcomplexity »على الحالة المثالية في كل مرة إلى أن تنتهي بأكثر النماذج واقعية، والتي تقترب بدرجة كبيرة من حالة النظام الحقيقي، المطلوب توصيفه وقياسه.
8- عملية «القياس المنضبطة ـ exact measurement » لأي متغير هي عملية مستحيلة في واقع الأمر، لأن النتائج تكون لانهائية؛ ولذلك رضخنا لمفهوم درجة معينة من « الدقة ـ precision» المطلوبة والتي تكون نتائجها قريبة بما فيه الكفاية من «الحد الأدنى من القياسات المطلوبة ــ desired degree of accuracy »، إذًا القيمة الدقيقة لقياس أي متغير حقيقي هو عدد غير نسبي.
9- كل خانة عشرية من العدد الغير نسبي تمثل درجة أكبر من الدقة، وفي كل مرة تضحي فيها ببعض من الدقة فإنك ستبتعد أكثر فأكثر عن الحقائق العلمية، وفي التجارب المعملية يقال أن الاختبار أُجْرِيَ بدرجة من الدقة تصل إلى كذا (رقم الدقة المطلوبة).
10- أينما ظهرت هذه الأرقام في معادلة رياضية لتطبيق فيزيائي أو هندسي هذا هو استخدامها.
«تعريف الأعداد غير النسبية »
تعرف على أنها: الأعداد الحقيقية التي لا يمكن التعبير عنها كنسبة بين عددين صحيحين و التي ليس لها تمثيل عشري نهائي أو متكرر.
وبعد العلامة العشرية لن يتوقف العد إلى ما لانهاية وسيتكرر ظهور الأرقام مرة بعد الأخرى دون تكرار أو توقف.
كل «جذر كامل ــperfect root» هو عدد نسبي، والجذور المكتملة مثل:
1√ =1 , 4√ =2 , 9√ =3 , 16 √= 4 , 25√ = 5 .
كل «جذر غير كامل ــ imperfect root»هو عدد غير نسبي. الجذور غير المكتملة مثل :
2√ =1.414.. , 3√ =1.732… , 5√ =2.236.. , 7√ = 2.645.. , 11 √= 3.316..
أمثلة على الأعداد غير النسبية.
«النسبة بين محيط الدائرة وقطرها»
π ≈ 3.14159265359
«عدد أويلر»
e ≈ 2.71828182846
«النسبة الذهبية»
φ ≈1.61803399
«ثابت الجذب العام »
G ≈ 6.674×10−11 N⋅m2/kg2
«الجذر التربيعي ل2»
2√ ≈ 1.41421356237
إعداد :Ahmed Hosiny
تصميم: Mohamed Qamar-eddie
تدقيق: Nada N. Elmeligy
