ا هو أكبر عدد أولي؟
يأتي هنا السؤال: ما هو أكبر هذه الأعداد الأولية؟
أتى العالم العظيم (إقليدس) بإجابة هذا السؤال عام 300 قبل الميلاد.
إذا افترضنا أن هناك عدد n من الأعداد الأولية، إذًا فالأعداد الأولية هى :
P1, P2, P3, P4,……………… Pn
حيث أن Pn هو أكبر عدد اولي.
إذا افترضنا أن هناك رقم يدعى Q وهو عبارة عن حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية مع إضافة 1.
Q= (P1×P2×P3×P4×………………………….×Pn) + 1
إذا كان Q عدد أولي (بالطبع Q أكبر بكثير من Pn ) فهذا يعنى أن هناك أعداد أولية أخرى ليست في هذه القائمة مما يعنى أن الأعداد الأولية هي أعداد لانهائية.
أما إذا كان Q عدد غير أولي، إذا هو يقبل القسمة على أعداد أولية، لكن إذا لاحظنا سنجد أنه بعد ضرب جميع الأعداد الأولية تم إضافة 1، مما يعنى أن Q يقبل القسمة على رقم غير موجود في القائمة مما يعنى أن القائمة غير كاملة، مما يعنى أيضًا أن الأعداد الأولية هي أعداد لانهائية.
إذا، ما هو أكبر عدد أولي تم اكتشافه حتى الآن؟
يتم معرفة هل الرقم هو رقم أولي أم لا بسهولة عن طريق حساب قابلية القسمة، لكن مع اكتشاف العديد من الأعداد الأولية أصبح من الصعب اكتشاف أعداد أولية جديدة نظرًا لكبر هذه الأعداد، و من هنا ظهرت الحاجة لاستخدام الحاسوب لحساب الأعداد الأولية الجديدة.
في يوم 25 يناير عام 2013 تم اكتشاف أكبر عدد أولي حتى الآن وهو 257,885,161-1 عن طريق (GIMPS) (http://www.mersenne.org/) وهم مؤسسة بحثية هدفها هو اكتشاف أعداد ميرسين الأولية. وتم اكتشاف هذا الرقم من خلال الحاسوب الخاص بالمتطوع (كورتيس كوبر) -وهو أستاذ في جامعة ميسورى- مما جعله يستحق أن يمنح جائزة قدرها ثلاثة آلاف دولار أمريكى. ويتكون هذا الرقم من 17,425,170 عدد.
و إذا بحثنا عن أكبر 10 أرقام أولية تم اكتشافها حتى الآن هى:
| العدد الأولي | عدد أرقامه | تاريخ أكتشافه |
|
| 1 | 257885161-1 | 17425170 | 2013 |
| 2 | 243112609-1 | 12978189 | 2008 |
| 3 | 242643801-1 | 12837064 | 2009 |
| 4 | 237156667-1 | 11185272 | 2008 |
| 5 | 232582657-1 | 9808358 | 2006 |
| 6 | 230402457-1 | 9152052 | 2005 |
| 7 | 225964951-1 | 7816230 | 2005 |
| 8 | 224036583-1 | 7235733 | 2004 |
| 9 | 220996011-1 | 6320430 | 2003 |
| 10 | 213466917-1 | 4053946 | 2001 |
جدير بالذكر أن هذا الرقم أيضًا هو رقم ميرسين الأولي رقم 48.
فما هو رقم ميرسين؟
لفهم أرقام ميرسين علينا أن نبدأ بفهم الأعداد المثالية.
فما هي الأرقام المثالية؟
إذا نظرنا إلى بعض الأرقام وقمنا برؤية الأرقام القابلة للقسمة عليها ماعدا الرقم نفسه، ثم قمنا بجمع الأرقام، إذا أعطانا مجموع هذه الأرقام الرقم الأصلي، فهذا رقم مثالي.
أمثلة لأول 4 أرقام مثالية:
أصغر رقم مثالي هو رقم 6، فإذا نظرنا للأعداد التي يمكن لل6 قسمتها عليها فهي 1 و 2 و 3 (و6 لكننا لا نحسبها)، فإذا قمنا بجمع 1+2+3=6 ، إذا 6 هو رقم مثالي.
الرقم المثالي الثاني هو رقم 28، فإذا نظرنا للأعداد التي يمكن لل28 قسمتها عليها فهي 1 و 2 و 4 و 7 و 14 (و28 لكننا لا نحسبها)، فإذا قمنا بجمع 1+2+4+7+14=28، إذا 28 هو الرقم المثالي الثاني.
الرقم المثالي الثالث هو رقم 496، فإذا نظرنا للأعداد التي يمكن لل496 قسمتها عليها فهي 1 و 2 و 4 و 8 و 16 و 31 و 62 و 124 و 248(و 496 لكننا لا نحسبها)، فإذا قمنا بجمع هذه الأرقام تكون النتيجة هى 496 ، إذا 496 هو الرقم المثالي الثالث.
الرقم المثالي الرابع هو رقم 8128، فإذا نظرنا للأعداد التي يمكن لل8128 قسمتها عليها فهي 1 و 2 و 4 و 8 و 16 و32 و 64 و 127 و 254 و 508 و 1016 و 2032 و 4064 (و 8128 لكننا لا نحسبها)، فإذا قمنا بجمع هذه الأرقام تكون النتيجة 8128 ، إذا 8128 هو الرقم المثالي الرابع.
ظل هذا الرقم صامدًا حتى وصل عدد الأرقام المثالية إلى 48 حتى يومنا هذا.
هل الأرقام المثالية نهائية أم لانهائية؟
لا أحد يعلم حتى يومنا هذا إجابة هذا السؤال!
أيضًا لا أحد يعلم هل هناك رقم مثالي فردي أم لا، حيث أن كل الأرقام المثالية التي تم اكتشافها هي أرقام زوجية.
إذًا ما هي أرقام ميرسين الأولية؟
تم تسمية أرقام ميرسين نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسى (مارين ميرسين)، الذي كان راهبًا، وعالم رياضيات ،وموسيقى.
أرقام ميرسين الأولية هي (2 ^ أي رقم – 1) الذي يعطيني رقم أولي.
مثل (2^2 – 1 ) = 3 ، (2^3 – 1 )= 7 ………
حتى الآن تم اكتشاف فقط 48 رقم ميرسين.
الغريب إنه تم إيجاد علاقة بين أرقام ميرسين والأرقام المثالية، حيث إنه إذا افترضنا أن رقم ميرسين هو M، نجد أن يعطينا رقم مثالي.
مثال:
أول رقم ميرسين هو 3 ، نجد أن يساوي 6 و هو أول رقم مثالي.
ثاني رقم ميرسين هو 7 ، نجد أن يساوي 28 و هو ثاني رقم مثالي.
أيضًا مثلما لا نعلم هل هناك عدد لانهائى من الأرقام المثالية أم لا، نحن لا نعلم هل هناك عدد لانهائى من أرقام ميرسين أم لا.
أنت أيضًا يمكنك البحث عن أرقام جديدة لميرسين، وبالطبع سوف تفوز بجائزة مالية ليست بالصغيرة. J
قم بزيارة http://www.mersenne.org/ وحمل البرنامج، وأصنع التاريخ!!
__________________________________________________
إعداد: مينا عاطف
مراجعة: إسلام سامي
تدقيق لغوي: إسراء عادل
تحرير: ندى المليجي
المصادر:
https://www.youtube.com/watch?v=ctC33JAV4FI
http://www.cut-the-knot.org/proofs/primes.shtml
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
http://www.sciencedaily.com/releases/2013/02/130213225424.htm
https://www.youtube.com/watch?v=QSEKzFGpCQs
https://primes.utm.edu/largest.html
One Response